Die Entwicklung der Funktionalanalysis wurde von der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Quantenmechanik motiviert. Es hat sich ziemlich schnell herausgestellt, dass die Theorie der beschränkten Operatoren für die Behandlung der auftretenden Probleme nicht ausreichend ist. Hierzu wurden die unbeschränkten Operatoren von J. von Neumann eingeführt. Die Theorie wurde intensiv weiterentwickelt und erfolgreich in vielen Bereichen der Mathematik und der Physik verwendet.

In der Vorlesung werden ausgewählte Kapitel der Theorie unbeschränkter Operatoren in Hilberträumen behandelt, wie z. B.

• Abgeschlossene und abschließbare Operatoren.
• Grundlagen der Spektraltheorie (Verallgemeinerung der Begriffe der beschränkten Operatoren, Spektralprojektionen, Riesz-Kalkül).
• Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren (Spektrum, Spektralsatz für selbstadjungierte, unbeschränkte Operatoren)
• Selbstadjungierte Fortsetzungen symmetrischer Operatoren.
• Quadratische Formen und die zugehörige sektorielle und dissipative Operatoren.
• Unitäre Gruppen und Kontraktionshalbgruppen.

Für die Vorlesung werden Grundbegriffe der Hilbertraumtheorie und der Funktionalanalysis vorausgesetzt.

Literatur

1. T. Kato, Perturbation Theory of Linear Operators.
2. J. Weidmann, Lineare Operatoren in Hilberträumen I.
3. M. Reed, B. Simo, Methods of Modern Mathematical Physics.
4. F. Riesz, B. Sz.-Nagy, Vorlesungen über Funktionalanalysis.